![](../img/tetra.jpg)
![Dva duální čtyřstěny. Vrcholy jsou opatřeny LED světýlky.](../img/tetra1.jpg)
![Dva duální čtyřstěny. Vrcholy jsou opatřeny LED světýlky.](../img/tetra2.jpg)
![Dva duální čtyřstěny. Vrcholy jsou opatřeny LED světýlky.](../img/tetra3.jpg)
![Čtyřstěny střídavě orientované (ve smyslu duality), ale různých velikostí, odvozených z průměrů hran, tak, aby se těsně dotýkaly a mohly se opakovat do nekonečna. Konstrukce je stabilní, ale pro zcela přesné polohy by bylo třeba čtyřstěny stabilizovat dalšími (nejlépe tenzními) hranami, nebo je fixovat v místech dotyku.](../img/tetra7x.jpg)
Čtyřstěn je specifickým Platónským tělesem. Kromě toho, že, stejně jako všechna ostatní, má všechny stěny i hrany stejné, má navíc i tu vlastnost, že je sám k sobě duální, tedy počet jeho vrcholů i stěn je shodný. Tuto vlastnost lze využít k odvození jeho konstrukce z šestistěnu (krychle). Spojíme-li od sebe stejně vzdálené vrcholy šestistěnu, dostaneme dva čtyřstěny, které jsou k sobě vzájemně duální.
![Konstrukce čtyřstěnu z dvanáctistěnu. V konstrukci je jich celkem pět. Jeden z nich je pro zvýraznění obarven purpurově.](../img/dodecaTetraMix0.jpg)
![Konstrukce čtyřstěnu z dvanáctistěnu. Jiný úhel pohledu. V konstrukci je jich celkem pět. Jeden z nich je pro zvýraznění obarven purpurově.](../img/dodecaTetraMix1.jpg)
![Pět čtyřstěnů různých barev. Vrcholy jsou shodné s vrcholy dvanáctistěnu. Průměr hran je upraven tak aby se vzájemně těsně dotýkaly. Tato složenina by držela pohromadě i bez propojení hran uzly.](../img/tetra0.jpg)
Jinou možností, jak vytvořit konstrukci čtyřstěnu, je z dvanáctistěnu. Opět, spojíme-li od sebe stejně vzdálené vrcholy dvanáctistěnu, dostaneme deset čtyřstěnů. Těchto deset čtyřstěnů je možné rozdělit na dvě skupiny po pěti, kdy v každé skupině je každý vrchol součástí čtyřstěnu právě jen jednoho. Pokud zvolíme správný průměr všech hran (ve vztahu k délce hrany je to 0,07383), je možné těchto pět konstrukcí složit dohromady tak, že se vzájemně dotýkají, a tato složenina je stabilní, jelikož všechny čtyřstěny se fixují navzájem. Pro konkrétní průměr hran, bude operace opačná - číslem 0,07383 budeme průměr dělit (násobit číslem 13,5441 = 1/0,07383).
![Konstrukce vycházející z 6 polovičních osmistěnů. Prostor (hraničící krajními černými hranami) doplňuje 8 čtyřstěnů.](../img/octaCube.jpg)
![Konstrukce šesti šestistěnů v zátěžovém testu. Konstrukce povolila při vložení osmé láhve z důvodu příliš volného spojení uzlů a hran.](../img/6x6Test.jpg)
![Polymer 44 osmistěnů a 80 čtyřstěnů.](../img/octa4.jpg)
Zajímavou vlastností čtyřstěnu je také to, že se skvěle doplňuje s osmistěnem. Jsou to totiž jediná dvě Platónská, tedy dokonale pravidelná, tělesa, která lze periodicky navazovat na sebe tak, že beze zbytku vyplní 3D prostor. Jinými slovy, spojíme-li jeden osmistěn se čtyřmi čtyřstěny, dostaneme těleso, stavební kámen, který lze periodicky beze zbytku navazovat v prostoru. Čtyřstěn pak, jako nejpevnější konstrukční prvek, dodá pevnost i této výplni. Ostatně i z osmistěnu se dá konstrukce čtyřstěnu odvodit, právě na základě skutečnosti, že je jeho doplňkem.
![Polymer jednoho čtyřstěnu a čtyř osmistěnů.](../img/8x4_0.jpg)
![Polymer jednoho čtyřstěnu a čtyř osmistěnů.](../img/8x4_1.jpg)
![Polymer jednoho čtyřstěnu a čtyř osmistěnů.](../img/8x4_2.jpg)
![Polymer jednoho čtyřstěnu a čtyř osmistěnů.](../img/8x4_3.jpg)
![Polymer jednoho osmistěnu a osmi čtyřstěnů.](../img/4x8_0.jpg)
Přiložíme-li k sobě čtyři stejně orientované osmistěny tak, aby uzavřely prostor mezi nimi, bude mít tento prostor právě tvar čtyřstěnu. To platí i opačně. Osm čtyřstěnů lze k sobě přiložit tak, aby prostor mezi nimi vytvořil osmistěn.
![Dva duální čtyřstěny. Každý jiné barvy.](../img/tetra4.jpg)
![Polymer dvou duálních čtyřstěnů doplněných čtyřmi osmistěny s deseti čtyřstěny tak, aby dualita těles byla odvozena ze stěn/vrcholů.](../img/8x4p_0.jpg)
![Polymer dvou duálních čtyřstěnů doplněných čtyřmi osmistěny s deseti čtyřstěny tak, aby dualita těles byla odvozena ze stěn/vrcholů.](../img/8x4p_1.jpg)
Dualitu těles je možné demonstrovat tak, že je propojíme jejich hranami. To je u síťových modelů relativně jednoduché řešení, protože stačí všechny jejich hrany v polovině rozdělit novým vrcholem, který bude vždy středem pravoúhlého kříže. Druhou možností je dualitu demonstrovat vnořením jednoho tělesa do druhého tak, že vrcholy vnořeného tělesa umístíme přesně do středů stěn tělesa výchozího. U síťových modelů pak musíme vytvořit "lešení" pro tyto středy, což je o něco komplikovanější. U čtyřstěnu to můžeme udělat tak, že každou stěnu (fazetu) rozdělíme na 9 menších, čímž nám vznikne středový vrchol. Hrany budou rozděleny na 3 menší. Pokud pospojujeme všechny takto vzniklé sousední vrcholy, "lešením" pro vnořený čtyřstěn budou právě 4 osmistěny a 10 čtyřstěnů velikostí shodných s tím vnořeným.